Урок 11. Схема Горнера и перевод чисел

1. Перевод целого числа десятичного кода в любую другую систему счисления осуществляется по следующему правилу: нужно делить исходное десятичное число на величину основания той системы счисления, в которую переводится число, а затем частное от деления снова делить на то же основание и так до тех пор, пока частное не окажется меньше делителя. Полученные остатки от деления и последнее частное будут представлять собой разряды числа в новой системе счисления. Чтение нового кода осуществляется с конца, т.е. последнее частное дает цифру старшего разряда.

Примеры:

1) перевести десятичное число 11 в двоичную систему счисления:

-
		-
				-
Направление чтения

Искомое двоичное число 1011, т.е.  .

2) перевести десятичное число 61819 в шестнадцатеричную систему:

Поскольку  , а  , искомое шестнадцатеричное число запишется в виде  , т.е.  .

2. Для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную можно использовать запись этого числа в виде полинома (2.1). Выполнив сложение, получаем искомое десятичное число.

Пример.

Перевести восьмеричное число 745 в десятичную систему счисления:

 .

Перевод в десятичный код может быть выполнен также по схеме Горнера.Процедура перевода следующая. Старший разряд исходного кода нужно умножить на основание переводимой системы счисления и полученное произведение сложить со следующим символом кода. Полученную сумму вновь умножить на основание и результат сложить со следующим символом и так продолжать до последнего (младшего) разряда кода. Для числа  указанные вычисления будут следующими:

 

 .

Схема Горнера особенно удобна при переводе чисел из двоичной системы. Имеем:  . Переведем полученное двоичное число в десятичное:

Искомое десятичное число 485, т.е.  .

3. Перевод чисел из любой недесятичной системы счисления в другую недесятичную систему выполняется в следующей последовательности:

– по методике, изложенной в п. 2, перевести исходный код в десятичный;

– по методике, изложенной в п. 1, перевести полученный десятичный код во вторую систему счисления.

Решение упрощается, если основания подлежащих переводу систем удовлетворяют условию (2.3), т.е.  , где  ,  – целое положительное число. При этом, если исходное число представлено в системе счисления с основанием  , для получения его изображения в системе с основанием  достаточно каждый символ исходного кода представить  -значным числом в системе счисления с основанием  . Примеры такого перевода приведены в п. 2.1.2 для чисел  и  . Если же исходное число представлено в системе счисления с основанием , для получения его изображения в системе с основанием  нужно в последовательности символов исходного кода, начиная с младших разрядов, выделять группы по  знаков и каждой из этих групп поставить в соответствие число в системе счисления с основанием  . Если последняя группа окажется неполной, ее нужно дополнить нулями со стороны старших разрядов.

Примеры:

1) перевести двоичное число  в восьмеричную систему счисления (  ):

Получаем:  ;

2) перевести то же двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления (  ):

Получаем:  .

Последние примеры показывают, что если  , а  , перевод чисел из системы счисления с основанием  в систему с основанием  и наоборот может выполняться через промежуточную систему счисления с основанием  . В частности, так можно осуществлять перевод чисел из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот через двоичный код, т.е. сначала исходное число представляется в двоичном коде, затем полученная двоичная комбинация разбивается на группы, каждой из которых ставится число во второй системе счисления.